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一般地，二次函数中自变量x的取值范围是一切实数．
当时，在的范围内，y随x的增大而减小，在的范围内，y随x的增大而增大；
当时，在的范围内，y随x的增大而增大；在的范围内，y随x的增大而减小．
②函数的最值．
一般地，二次函数自变量x的取值范围是一切实数时，
当，时，函数取得最小值；记作时，
当，时，函数取得最大值，记作时，
例题
例1. 已知二次函数的对称轴是直线，且图象过点（1，4）和（－3，0）
问：当x为何值时，函数取得最值？最值是多少？
解析：二次函数的图象是抛物线，且图象关于对称轴对称．
点（－3，0）关于直线的对称点为（－1，0）
设这个二次函数为
又图象过点（1，4）
当时，，
显然，图象开口向上，函数有最小值，当时，
或者：设图象的顶点为（－2，k），则
图象经过点（1，4）和（－3，0）
解方程得
当时，
例2. 数学兴趣小组的甲、乙、丙、丁四个同学在一起探讨代数式的值的情况，他们分工如下：甲负责找使代数式的值为1时的x值为多少，乙找值为0时的x值，丙与丁负责找代数式的最值．几分钟后，他们各自通报了探究的如下结果：
甲：当时，的值为1；
乙：不能找到这样的实数x，使的值为0．
丙：的值是随着x的变化而变化着的，找不到变化中的最小值；
丁：只要时，的值总是随着x的增大而增大，最大值肯定不在这个范围内．
你认为他们的探究结果是否正确？为什么？
解析：他们探究的结果都是与代数式的值有关．
不妨设 其中y随着x的变化而变化，且x的取值为一切实数．
当时，代入中得甲对；
若，则．但无论x取何实数值，乙对；
抛物线对称于直线，且时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大．
当且仅当时，丙错，由此可见丁正确．
例3. 如图，是函数和在同一个直角坐标系里的图象．它们与x轴交于A、B、C三点．
①若D是右边一支抛物线的顶点，其纵坐标为，求它们的解析式；
②在自变量x的取值范围内，分别讨论函数的增减性质以及求它们的最值．
③x在什么范围内，？
解析：①均为二次函数（如图）且可判定左边的一条为函数的图象，右边为的图象．
又的图象均过点B、D
即
过点B（2，0）
且
解得，其对称轴为
②对于抛物线，易知当时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小，当时，最大值；
对于抛物线，当时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大，当时，最小值．
③由图显然可知，当时，；
当或时，；
当时，
本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。