大家好，我是小百，我来为大家解答以上问题。四边形abcd是正方形，四边形abcd是正方形很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！
1、
1、(1)证明：连结OM。
2、 ∵PE⊥AC，PF⊥BD，
3、 ∴∠OEP=∠OFP=90°.
4、 又∵∠EOF=90°，
5、 ∴四边形EOFP为矩形.
6、 ∴OF=EP。
7、 易证△AEP，△AOD，△DOM是等腰直角三角形，
8、 ∴AE=PE,AO=OD,OM=OD, ∠EOM=∠MDF.
9、 ∴AE=OF.
10、 ∴OE=AO－AE=OD－OF=DF.
11、 ∴△MEO≌△MFD.
12、 ∴ME=MF.
13、(2)成立。证明如下：
14、 连结OM，EF。
15、 ∵PE⊥AC，
16、 ∴∠OEP=90°.
17、 ∵M是等腰△AOD底边上的中点，
18、 ∴OM⊥AD, ∠AOM=∠DOM（三线合一）.
19、 ∴∠OMA＝90°.
20、 ∴O，F，M，P四点共圆。（同斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆）
21、 同理得E，O，M，P四点共圆。
22、 ∴∠FEM=∠FPM，∠EFM=∠AOM,
23、 在Rt△DOM中，∠MDO+∠DOM=90°。
24、 在Rt△DFP中，∠MDO+∠DPF=90°。
25、 ∴∠DOM=∠DPF。
26、 ∴∠EFM=∠AOM=∠DOM=∠DPF=∠FEM。
27、 ∴ME=MF。
28、(3)如第3幅图所示，很明显这个结论在任意四边形中是不成立的，应添加的条件为AO=OD或∠OAD=∠ODA。证明过程与第（2）问完全相同。
29、说明：第二问是用圆的知识做的，假如你没学过我帮你再想过另一种方法，你用我这种方法也没人说你错。
本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。